Question

7．已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$（a＞0，ω＞0）的最大值为2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式及其对称轴；   
（2）求f（x）在区间（0，$\frac{π}{8}$]的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式．
（2）由x∈（0，$\frac{π}{8}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：（1）已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$=asin2ωx+$\sqrt{3}$cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为2，
可得$\sqrt{{a}^{2}+3}$=2，∴a=1，f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）．
x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=1，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令4x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{4}$+$\frac{π}{24}$，故函数的图象的对称轴方程为 x=$\frac{kπ}{4}$+$\frac{π}{24}$，k∈Z．
（2）∵x∈（0，$\frac{π}{8}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{12}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\sqrt{3}$，2]，
即f（x）在区间（0，$\frac{π}{8}$]的取值范围为[$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．