Question

如图，已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，BC=3，BC₁=5，点D在线段AB上，AD=3，BD=2，四边形ACC₁A₁为正方形．
（1）求证：BC⊥AC₁；
（2）请判断AC₁是否平行于平面B₁CD（不用证明）；
（3）求三棱锥C₁-CDB₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）运用勾股定理得出BC⊥AC，BC⊥CC₁而CC₁∩AC=C，再用判断定理得出BC⊥平面AA₁C₁C，BC⊥AC₁
（2）根据直线平面平行的判断定理推导得出：AC₁与平面B₁CD不平行，
（3）根据体积公式得出VC1-B1DC=VD-B1C1C=

2

5

VA-B1C1C．

解答： 解：（1）∵在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
△BCC₁中，BC=3，CC₁=4，BC₁=5，
∴BC⊥CC₁而CC₁∩AC=C，．
∴BC⊥平面AA₁C₁C，BC⊥AC₁．

（2）AC₁与平面B₁CD不平行．

（3）由已知易知AC⊥平面BCC₁，AB：DB=5：2，
∴VC1-B1DC=VD-B1C1C=

2

5

VA-B1C1C=

2

5

×

1

3

×

1

2

×3×4×4=

16

5

，

点评：本题考查了空间直线平面的平行，垂直，体积，面积问题，属于中档题，难度不大．