Question

我们用符号“||”定义过一些数字概念，如实数绝对值的概念：对于a∈R，|a|=

a，a＞0 0，a=0 -a，a＜0

，可以证明，对任意a，b∈R，不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|成立．
（1）再写出两个这类数学概念的定义及其成立的不等式；
（2）对于集合A，定义“|A|”为集合A中元素的个数，对任意的集合A、B有类似的不等式成立吗？如果有，写出一个，并指出等号成立的条件（不必说明理由）；如果没有，请说明理由；
（3）设有集合A、B，若|A|=15，|B|≥15，若从A中任取两上元素，恰好都是B中元素的概率p≥

1

5

，求|A∩B|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于条件中定义的绝对值的意义，写出两个符合这种条件的表达式，一个是复数具有这种性质，一个是向量具有这种性质．
（2）对任意集合A，B，不等式|A|-|B|≤A∪B≤|A|+|B|成立，左边等号成立的条件是：B=φ，右边等号成立的条件是：A∩B=φ．
（3）根据所给的概率的值，表示出概率的表示式，整理出关于n的不等式即n（n-1）≥42，得到n≥7或n≤-6
注意到n≤15，n∈N，所以7≤n≤15，且n∈N，得到结果．

解答：解：（1）①设复数z=a+bi（a，b∈R），定义复数z的模为：
|z|=

a2+b2

（2分）
对任意复数z₁，z₂，不等式|z₁|-|z₂|≤|z₁-z₂|≤|z₁|+|z₂|成立
（也可以是||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|等）
②平面向量之间具有这种关系，设平面向量

.

a

={x，y}，定义向量的模为：|a|=

x2+y2

（5分）
对于任意向量|

a

|-|

b

|≤|

a

-

b

|≤|

a

|+|

b|

成立
（2）有，对任意集合A，B，不等式|A|-|B|≤A∪B≤|A|+|B|成立（2分）
左边等号成立的条件是：B=φ，右边等号成立的条件是：A∩B=φ；（4分）
（或者：不等式||A|-|B||≤A∪B≤|A|+|B|成立（2分）
左边等号成立的条件是：B=φ 或A=φ，右边等号成立的条件是：A∩B=φ；（4分））
（3）易知：|A∩B|≤15，设|A∩B|=n，（1分）
依题意：p=

C 2 n

C 2 15

≥

1

5

，（3分）
即n（n-1）≥42，∴n≥7或n≤-6 （4分）
注意到n≤15，n∈N，所以7≤n≤15，且n∈N
即满足题意的|A∩B|的取值范围是{n|7≤n≤15，且n∈N }（6分）

点评：本题是一个新定义问题，帮助我们对于数学中有联系的知识点进行比较，本题解题的关键是读懂题目所给的条件，并且能够意义知识点写出符合条件的式子，本题是一个难题．