Question

设方程x²-

10

x+2=0的两个根分别为α，β，求log₄

α2-αβ+β2

(α-β)2

的值．

Answer 1

分析：欲求函数式的值，先把此代数式变形为只含有α与β的和与差的形式，根据一元二次方程根与系数的关系可得到两根之积和两根之和的结果，代入数值计算即可得到结果．

解答：解：由题意可知方程x²-

10

x+2=0的两个根分别为α，β，
根据根与系数的关系得到α+β=

10

，αβ=2．（4分）
∵α²-αβ+β²=（α+β）²-3αβ=10-6=4，（7分）
（α-β）²=（α+β）²-4αβ=10-8=2．（10分）
∴log₄

α2-αβ+β2

(α-β)2

=log₄

4

2

=

1

2

．（12分）
即要求的代数式的结果是

1

2

点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，考查α+β，α-β，αβ，α²+β²四个式子之间的转化关系，本题解题的关键是对于所给的式子的整理，转化成可以直接应用两根的和与积的形式的代数式，本题是一个中档题目．