Question

如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD//FE，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC的中点．

（Ⅰ）求证：EG//平面ABF；
（Ⅱ）求三棱锥B-AEG的体积；
（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

Answer 1

（I）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）平面BAE⊥平面DCE．证明见解析.

试题分析：（I）取AB中点M，连FM，GM．由题设易得四边形GMFE为平行四边形，从而得EG∥平面ABF；（Ⅱ）显然转化为求三棱锥E－ABG的体积.注意到平面ABCD⊥平面AFED，故作EN⊥AD，垂足为N，则有EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E-ABG的高．由此即可得其体积；（Ⅲ）为了判断平面BAE、平面DCE是否垂直，首先看看在这两个面中有哪些线是相互垂直的.由平面ABCD⊥平面AFED，四边形ABCD为矩形可得，CD⊥平面AFED，从而 CD⊥AE．另外根据题中所给数据，利用勾股定理可判断ED⊥AE．由此可知，平面BAE⊥平面DCE．
试题解析：（I）证明：取AB中点M，连FM，GM．

∵G为对角线AC的中点，
∴GM∥AD，且GM=AD，
又∵FE∥AD，
∴GM∥FE且GM=FE．
∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM．
又∵平面ABF，平面ABF，
∴EG∥平面ABF．                       4分
（Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足为N，
由平面ABCD⊥平面AFED ，面ABCD∩面AFED=AD，
得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E-ABG的高．
∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60º，
∴△AEF是正三角形．
∴∠AEF=60º，
由EF//AD知∠EAD=60º，
∴EN=AE?sin60º=．
∴三棱锥B-AEG的体积为
．        8分
（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，
∴CD⊥平面AFED，
∴CD⊥AE．
∵四边形AFED为梯形，FE∥AD，且，
∴．
又在△AED中，EA=2，AD=4，，
由余弦定理，得ED=．
∴EA²+ED²=AD²，
∴ED⊥AE．
又∵ED∩CD=D，
∴AE⊥平面DCE，
又面BAE，
∴平面BAE⊥平面DCE．                     12分