Question

已知抛物线C₁的方程为y=ax²（a＞0），圆C₂的方程为x²+（y+1）²=5，直线l₁：y=2x+m（m＜0）是C₁、C₂的公切线．F是C₁的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C₁上的一动点，以A为切点的C₁的切线l交y轴于点B，设

FM

=

FA

+

FB

，证明：点M在一定直线上．

Answer 1

分析：（1）利用圆心到直线的距离等于半径求出m，再利用导函数与切线的关系求出a的值即可．
（2）先求出以A为切点的切线l的方程以及点A，B的表达式，再求出

FA

，

FB

，利用

FM

=

FA

+

FB

即可求出点M所在的定直线．

解答：解：（1）由已知，圆C₂：x²+（y+1）²=5的圆心为C₂（0，-1），半径r=

5

．（1分）
由题设圆心到直线l₁：y=2x+m的距离d=

|1+m|

22+(-1)2

．（3分）
即

|1+m|

22+(-1)2

=

5

，
解得m=-6（m=4舍去）．（4分）
设l₁与抛物线的相切点为A₀（x₀，y₀），又y′=2ax，（5分）
得2ax0=2?x0=

1

a

，y0=

1

a

．（6分）
代入直线方程得：

1

a

=

2

a

-6，∴a=

1

6

所以m=-6，a=

1

6

．（7分）
（2）由（1）知抛物线C₁方程为y=

1

6

x2，焦点F(0，

3

2

)．（8分）
设A(x1，

1

6

x

2 1

)，由（1）知以A为切点的切线l的方程为y=

1

3

x1(x-x1)+

1

6

x

2 1

．（10分）
令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为(0，-

1

6

x

2 1

)（11分）
所以

FA

=(x1，

1

6

x

2 1

-

3

2

)，

FB

=(0，-

1

6

x

2 1

-

3

2

)，（12分）
∴

FM

=

FA

+

FB

=(x1，-3)（13分）
因为F是定点，所以点M在定直线y=-

3

2

上．（14分）

点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．本题用的是第一种．