Question

已知抛物线C₁的方程为y=x²，抛物线C₂的方程为y=2-x²，C₁和C₂交于A，B两点，D是曲线段AOB段上异于A，B的任意一点，直线AD交C₂于点E，G为△BDE的重心，过G作C₁的两条切线，切点分别为M，N，求线段MN的长度的取值范围．

Answer 1

分析：设切点N（x1，x12），M（x2，x22），由题设条件推导出3x₁²-6x₁+4x₀-1=0，3x22-6x2+4x0-1=0，由此能求出线段MN的长度的取值范围．

解答：解：设A（-1，1），B（1，1），D（x0，x02），（-1＜x₀＜1），…（2分）
直线AD：y=（x₀-1）x+x₀，代入y=2-x²，
E（2-x₀，-x02+4x₀-2），D（1，

4x0-1

3

），
设切点N（x1，x12），M（x2，x22），
2x₁=

4x1-1 3 -x12

1-x1

，3x₁²-6x₁+4x₀-1=0，
同理，3x22-6x2+4x0-1=0，
则x₁，x₂是方程3x²-6x+4x₀-1=0的两根，…（6分）
∴|NM|=

(x12-x12)2+(x1-x2)2

=

4 15

3

1-x0

，（-1＜x₀＜1）…（10分）
则|MN|∈（0，

4 30

3

）．…（12分）

点评：本题考查线段长度的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．