Question

【题目】△ABC的内角A. B. C的对边分别为a，b，c，己知＝b（c－asinC）。

（1)求角A的大小；

(2）设b=c，N是△ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，如图，若BN=4，CN=2，求四边形ABNC面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） .

【解析】

（1）由条件可得ccosA=c-asinC．由正弦定理得sinA+cosA=1．化简得sin(A+)=，解得A即可.

（2）由余弦定理得BC2=16+4-16cosN =20-16cosN，再结合条件得到四边形面积S=S△ABC+S△BCN，求得最值.

（1）∵ ，∴ cbcosA=b(c-asinC)，即ccosA=c-asinC．

由正弦定理得sinCcosA=sinC-sinAsinC，∵ sinC0，

∴ cosA=1-sinA，即sinA+cosA=1．∴ sinA+cosA=，即sin(A+)=．

∵ 0<A<,∴ ．∴ A+=，即A=．

（2）在△BCN中，由余弦定理得BC2=NB2+NC2-2NBNCcosN，∵ BN=4，CN=2，

∴ BC2=16+4-16cosN =20-16cosN．

由（1）和b=c，得△ABC是等腰直角三角形，于是AB=AC=BC，

∴ 四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△BCN=

= =

==． ∴ 当N=时，S取最大值，

即四边形ABCD的面积的最大值是．