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    （2000•上海）已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=
    .
    z0
    •
    .
    z
    ，|w|=2|z|．
    （Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式；
    （Ⅱ）将（x、y）作为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
    （Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．
    分析：（Ⅰ）由题设，|w|=|
    .
    z0
    •
    .
    z
    |=|z0||z|=2|z|    ，求出|z0|=2，继而求出m，再根据复数相等得出x'和y'用x、y表示的关系式；
    （Ⅱ）利用转换，代换的方法，求轨迹方程；
    （Ⅲ）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，所求直线可设为y=kx+b（k≠0）
    结合以上两问求解．
    解答：解：（Ⅰ）由题设，|w|=|
    .
    z0
    •
    .
    z
    |=|z0||z|=2|z|    ，∴|z0|=2，
    于是由1+m2=4，且m＞0，得m=
    		3
    ，…（3分）
    因此由x′+y′i=
    .
    (1-
    		3i
    )
    •
    .
    (x+yi)
    =x+
    		3y
    +(
    		3x
    -y)i    ，
    得关系式
    x′=x+
    		3y
    y′=
    		3x
    -y
    …（5分）
    （Ⅱ）设点P（x，y）在直线y=x+1上，则其经变换后的点Q（x'，y'）满足
    x′=(1+
    		3
    )x+
    		3
    y′=(
    		3x
    -1)x-1
    ，…（7分）
    消去x，得y′=(2-
    		3
    )x′-2
    		3
    +2    ，
    故点Q的轨迹方程为y=(2-
    		3
    )x-2
    		3
    +2    …（10分）
    （3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
    ∴所求直线可设为y=kx+b（k≠0），…（12分）
    [解法一]∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q(x+
    		3
    y，
    		3
    x-y)    仍在该直线上，
    ∴
    		3
    x-y=k(x+
    		3
    y)+b    ，
    即-(
    		3
    k+1)y=(k-
    		3
    )x+b    ，
    当b≠0时，方程组
    -(
    		3
    k+1)=1
    k-
    		3
    =k
    无解，
    故这样的直线不存在．                                            …（16分）
    当b=0时，由
    -(
    		3
    k+1)
    1
    =
    k-
    		3
    k
    ，
    得
    		3
    k2+2k-
    		3
    =0    ，
    解得k=
    		3
    3
    或k=-
    		3
    ，
    故这样的直线存在，其方程为y=
    		3
    3
    x    或y=-
    		3
    x    ，…（18分）
    [解法二]取直线上一点P(-
    b
    k
    ，0)    ，其经变换后的点Q(-
    b
    k
    ，-
    		3
    b
    k
    )    仍在该直线上，
    ∴-
    		3
    b
    k
    =k(-
    b
    k
    )+b    ，
    得b=0，…（14分）
    故所求直线为y=kx，取直线上一点P（0，k），其经变换后得到的点Q(1+
    		3
    k，
    		3
    -k)    仍在该直线上．
    ∴
    		3
    -k=k(1+
    		3
    k)    ，…（16分）
    即
    		3
    k2+2k-
    		3
    =0    ，得k=
    		3
    3
    或k=-
    		3
    ，
    故这样的直线存在，其方程为y=
    		3
    3
    x    或y=-
    		3
    x    ，…（18分）
    点评：本题考查复数的有关概念和计算，轨迹方程的求解，考查转化、代入、计算、推理能力．
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    ，x∈[1，+∞），
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    1
    2
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    1
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    （2000•上海）已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=
    .
    z0
    •
    .
    z
    ，|w|=2|z|．
    （Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式：
    （Ⅱ）将（x、y）用为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(
    		3
    ，2)    ，试求点P的坐标；
    （Ⅲ）若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值．

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