Question

（2000•上海）已知函数f(x)=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞），
（1）若a=

1

2

，求f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=

1

2

时，函数为f(x)=x+

1

2x

+2，f在[1，+∞）上为增函数，故可求得函数f（x）的最小值
（2）问题等价于f（x）=x²+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立，利用分类参数法，通过求函数的最值，从而可确定a的取值范围

解答：解：（1）因为f(x)=x+

1

2x

+2，f（x）在[1，+∞）上为增函数，
所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=

7

2

．…（6分）
（2）问题等价于f（x）=x²+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．
即a＞-（x+1）²+1在[1，+∞）上恒成立．
 令g（x）=-（x+1）²+1，则g（x）在[1，+∞）上递减，当x=1时，g（x）_max=-3，所以a＞-3，
即实数a的取值范围是（-3，+∞）．…（6分）

点评：本题以函数为载体，考查对勾函数门课程二次函数的最值，考查恒成立问题的处理，注意解题策略．