Question

已知数列{a_n}满足：a_i=a，a是非零常数，t是常数，
（1）当a-1，t=0时，求数列{a_n}的通项公式．
（2）对于给定的常数a是否存在常数t，λ使数列{a_n+λ}是等比数列．若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知a₁=1，a₂=1，a₃=2a₂，
当n为奇数时，a_n=2a_n-1=2a_n-2=…=，
当n为偶数时a_n=；
（2）由已知a₁=a，a₂=a+t，a₃=2a+2t，a₄=2a+3t，
若{a_n+λ}成等比数列，
则有（a₂+λ）²=（a₁+λ）（a₃+λ），（a₃+λ）²=（a₂+λ）（a₄+λ），
化简得：a²+aλ=t²，2a²+aλ+3at=-t²，
所以t=-，λ=-，代入数列{a_n+λ}得到数列的各项为：，-，，-，…，
则数列{a_n+λ}为首项是，公比是-1的等比数列，
故存在t=-，λ=-使得{a_n+λ}成等比数列．
分析：（1）由已知首项等于1，t=0，代入已知的数列{a_n}通项公式中，得到当n为奇数时，第n项等于前一项的2倍；当n为偶数时，第n项等于第n-1项，分别根据等比数列的通项公式写出各自的通项即可；
（2）根据已知a_n的分段函数，分别表示出第1，2，3及4项，根据数列{a_n+λ}是等比数列，得到第2项与λ和的平方等于第1项与λ的和乘以第3项与λ的和，且第3项与λ和的平方等于第2项与λ的和乘以第4项与λ的和，把表示出的四项代入，化简后得到t与λ关于a的两关系式，把a看作已知数解出t和λ，然后把求出的t和λ代入数列中检验，满足题意，故存在常数t，λ使数列{a_n+λ}是等比数列．
点评：此题考查学生会利用数列的递推式得到数列的通项公式，灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题．