Question

如图所示，在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为

2

的等边三角形，AB=2，O是AB的中点．
（1）在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABC．

Answer 1

分析：（1）根据O是AB的中点，取PA得中点M，则OM为△PAB的中位线，故有OM∥PB，再由直线和平行的判定定理证得OM∥平面PBC．
（2）由题意可得△ABC为等腰直角三角形，故CO⊥AB，且CO=1．再利用勾股定理证明 CO⊥OM，可得CO⊥平面PAB，再根据平面和平面垂直的判定定理证得平面PAB⊥平面ABC．

解答：解：（1）∵O是AB的中点，取PA得中点M，则OM为△PAB的中位线，故有OM∥PB．
而OM不在平面PBC内，PB在平面PBC内，故有OM∥平面PBC．
（2）在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为

2

的等边三角形，AB=2，故△ABC为等腰直角三角形，
故CO⊥AB，且CO=1．
再由OM=

1

2

PB=

2

2

，CM=

AC2-AM2

=

2- 1 2

=

6

2

，可得CM²=CO²+OM²，
∴CO⊥OM．
这样，CO垂直于平面PAB内的两条相交直线，故CO⊥平面PAB．
而CO在平面ABC内，故有平面PAB⊥平面ABC．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的判定定理可得应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．