Question

如图，三角形ABC中，AC=BC=AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点。
（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V。

Answer 1

（Ⅰ）证明：证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1） ∵G、F分别是EC和BD的中点， ∴HG//BC，HF//DE， 又∵ADEB为正方形， ∴DE//AB，从而HF//AB， ∴HF//平面ABC，HG//平面ABC，HF∩HG=H， ∴平面HGF//平面ABC， ∴GF//平面ABC。
证法二：取BC的中点M，AB的中点N，连结GM、FN、MN （如图2）， ∵G、F分别是EC和BD的中点， ∴GM∥BE，且GM=BE，NF∥DA，且NF=DA， 又∵ADEB为正方形， ∴BE//AD，BE=AD， ∴GM//NF且GM=NF， ∴MNFG为平行四边形， ∴GF//MN， 又MN平面ABC， ∴GF//平面ABC。 （Ⅱ）证明：∵ADEB为正方形， ∴EB⊥AB，∴GF//平面ABC， 又∵平面ABED⊥平面ABC， ∴BE⊥平面ABC， ∴BE⊥AC， 又∵CA2+CB2=AB2， ∴AC⊥BC， ∵BC∩BE=B， ∴AC⊥平面BCE。 （Ⅲ）解：连结CN，因为AC=BC， ∴CN⊥AB， 又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC， ∴CN⊥平面ABED。  ∵三角形ABC是等腰直角三角形， ∴，  ∵C-ABED是四棱锥， ∴VC-ABED=。