(本小题满分14分)
已知二次函数,关于
的不等式
的解集为
,其中
为非零常数.设
.
(1)求的值;
(2)R
如何取值时,函数
存在极值点,并求出极值点;
(3)若,且
,求证:
N
(1)(2)当
时,
取任意实数, 函数
有极小值点
;
当时,
,函数
有极小值点
,有极大值点
.
(其中,
)
(3)① 当时,左边
,右边
,不等式成立;② 假设当
N
时,不等式成立,即
,
则
.
也就是说,当时,不等式也成立.
由①②可得,对N
,
都成立.
【解析】
试题分析:(1)解:∵关于的不等式
的解集为
,
即不等式的解集为
,
∴.
∴.
∴.
∴.
(2)解法1:由(1)得.
∴的定义域为
.
∴.
方程(*)的判别式
.
①时,
,方程(*)的两个实根为
则时,
;
时,
.
∴函数在
上单调递减,在
上单调递增.
∴函数有极小值点
.
②当时,由
,得
或
,
若,则
故时,
,
∴函数在
上单调递增.
∴函数没有极值点.
若时,
则时,
;
时,
;
时,
.
∴函数在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增.
∴函数有极小值点
,有极大值点
.
综上所述, 当时,
取任意实数, 函数
有极小值点
;
当时,
,函数
有极小值点
,有极大值点
.
(其中,
)
解法2:由(1)得.
∴的定义域为
.
∴.
若函数存在极值点等价于函数
有两个不等的零点,且
至少有一个零点在上.
令,
得,
(*)
则,(**)
方程(*)的两个实根为,
.
设,
①若,则
,得
,此时,
取任意实数, (**)成立.
则时,
;
时,
.
∴函数在
上单调递减,在
上单调递增.
∴函数有极小值点
.
②若,则
得
又由(**)解得或
,
故.
则时,
;
时,
;
时,
.
∴函数在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增.
∴函数有极小值点
,有极大值点
.
综上所述, 当时,
取任何实数, 函数
有极小值点
;
当时,
,函数
有极小值点
,有极大值点
(其中,
)
(2)证法1:∵, ∴
.
∴
.
令,
则
.
∵,
∴
.
∴,即
.
证法2:下面用数学归纳法证明不等式.
① 当时,左边
,右边
,不等式成立;
② 假设当N
时,不等式成立,即
,
则
.
也就是说,当时,不等式也成立.
由①②可得,对N
,
都成立.
考点:本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识
点评:本题计算量大,第二问中要对参数分情况讨论再次加大了试题的难度,第三问数学归纳法用来证明和正整数有关的题目。本题还考查了数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=
,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
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科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点(
)在函数
的图像上,其中
=
.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求
及数列{
}的通项公式;
(3)记,求数列{
}的前n项和
,并证明
.
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科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天(
)的销售价格(单位:元)为
,第
天的销售量为
,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第
天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点
处的切线与直线
平行.
⑴ 求,
满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求
的取值范围;
⑶ 证明:(
)
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