Question

16．y=$\frac{2-cosx}{sinx}$，x∈（0，π）的值域为[$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 这里是采用了换元的方法求解的，先将式子两边同时平方，将正弦函数转换成余弦函数，再利用换元的方法求出函数的值域．

解答 解：将式子两边平方得y²=（$\frac{2-cosx}{sinx}$）²化简得（y²+1）cosx²-4cosx+4-y²=0，
令t=cosx，则t∈（-1，1），f（t）=（y²+1）t²-4t+4-y²，对称轴t=$\frac{2}{{y}^{2}+1}$
所以要使方程在区间（-1，1）上有根，必需满足$\left\{\begin{array}{l}{△=16-4（{y}^{2}+1）（4-{y}^{2}）≥0}\\{f（-1）={y}^{2}+1+4+4-{y}^{2}＞0}\end{array}\right.$
解得y²≥3，又y＞0，所以y≥$\sqrt{3}$．
故答案为：[$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题考查的是含有三角函数式子的值域问题，可以利用三角函数的有界性来解，也可以利用函数的单调性来解，还可能采用换元的方法解．