Question

4．$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为120°，$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=3$则$|{5\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=7；$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$在$\overrightarrow b$方向上的投影为2．

Answer 1

分析 由$|5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=（5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$，展开后可求得$|{5\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；由$\frac{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}}{|\overrightarrow{b}|}$得到$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$在$\overrightarrow b$方向上的投影．

解答 解：∵$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为120°，$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=3$，
∴$|5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=25|\overrightarrow{a}{|}^{2}-10\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$
=25-10×1×3×cos120°+9=$25-30×（-\frac{1}{2}）+9$=49．
∴$|{5\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=7；
$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$在$\overrightarrow b$方向上的投影为$\frac{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}}{|\overrightarrow{b}|}$
=$\frac{2×1×3×cos120°+9}{3}$=$\frac{6}{3}=2$．
故答案为：7；2．

点评 本题考查数量积表示两个向量的夹角，考查了向量在向量方向上的投影，是基础题．