Question

15．已知点（-$\frac{π}{8}$，0）为函数f（x）=3sin（2x+φ）的一个对称中心，且-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求φ的值及函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值及f（x）取最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）首先，根据对称中心，代入即可得到相应的φ=$\frac{π}{4}$，然后，根据正弦函数的单调性确定其单调减区间；
（2）直接根据（1）的结果，利用正弦函数的图象确定其最大值即可．

解答 解：（1）∵点（-$\frac{π}{8}$，0）为函数f（x）=3sin（2x+φ）的一个对称中心，
∴将点（-$\frac{π}{8}$，0）代入f（x）=3sin（2x+φ）得，
3sin（-$\frac{π}{4}$+φ）=0，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$．
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{4}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{4}$+2kπ≤2x≤$\frac{5π}{4}$+2kπ，
∴$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{8}$+kπ，
∴函数f（x）的单调减区间[$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，
（2）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤2x≤π，
∴$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$时，该函数取得最大值为：3．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角函数单调性与最值问题的处理思路和方法，属于中档题．