Question

19．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58．为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型y=ax²+bx+c，乙选择了模型y=p•q^x+r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？

Answer 1

分析 由二次函数为y=ax²+bx+c求出解析式，计算x=4、5、6时的函数值；再对函数y=p•q^x+r求出其函数解析式，计算x=4、5、6时的函数值，最后与真实值进行比较决定选择哪一个函数式好．

解答 解：令y=f（x）=ax²+bx+c，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=52}\\{4a+2b+c=54}\\{9a+3b+c=58}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-1，c=52，
∴f（x）=x²-x+52，
∴f（4）=4²-4+52=64＜66，
f（5）=5²-5+52=72＜82，
f（6）=6²-6+52=82＜115；
设y=g（x）=p•q^x+r，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=p•q+r=52}\\{g（2）=p{•q}^{2}+r=54}\\{g（3）=p{•q}^{3}+r=58}\end{array}\right.$，
解得p=1，q=2，c=50，
∴g（x）=2^x+50，
∴g（4）=2⁴+50=66，
g（5）=2⁵+50=82，
g（6）=2⁶+50=114＜115；
∵g（4）、g（5）、g（6）比f（4）、f（5）、f（6）更接近真实值，
∴应将y=2^x+50作为模拟函数．

点评 本题考查了根据实际问题选择函数类型的应用问题，也考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题，是中档题