Question

13．在△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当∠C变化时，求线段CD长的最大值为多少？

Answer 1

分析 由题意画出图形，设∠CBA=α，AB=BD=a，然后利用余弦定理把CD²用含有a的代数式表示，然后换元，再利用配方法和基本不等式求得最值得答案．

解答 解：如图，设∠CBA=α，AB=BD=a，
则在三角形BCD中，由余弦定理可知$C{D}^{2}=2+{a}^{2}+2\sqrt{2}sinα$，
在三角形ABC中，由余弦定理可知$cosα=\frac{{a}^{2}+1}{2\sqrt{2}a}$，可得$sinα=\frac{\sqrt{-{a}^{4}+6{a}^{2}-1}}{2\sqrt{2}a}$，
∴$C{D}^{2}=2+{a}^{2}+\sqrt{-{a}^{4}+6{a}^{2}-1}$，令t=2+a²，则
$C{D}^{2}=t+\sqrt{-{t}^{2}+10t-17}$=$t+\sqrt{-（t-5）^{2}+8}$$≤\sqrt{2}\sqrt{（t-5）^{2}+[-（t-5）^{2}+8]}+5=9$，
当（t-5）²=4时等号成立．
∴CD最大值为3．

点评 本题考查余弦定理在解三角形中的应用，训练了换元法和配方法求函数的最值，属中档题．