Question

18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且（a+b）（sin A-sin B）=（c-b）sin C．
（1）求角A的大小；
（2）若2c=3b，且△ABC的面积为6$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得b²+c²-a²=bc，由余弦定理可求cosA，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．
（2）由S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=6$\sqrt{3}$①，2c=3b②，①②联立可解得b，c，由余弦定理即可求得a的值．

解答 解：（1）∵（a+b）（sin A-sin B）=（c-b）sin C．
∴（a+b）（a-b）=（c-b）c．
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜A＜π，
∴解得：A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=6$\sqrt{3}$①，2c=3b②，
∴由①②可解得：b=4，c=6，
∴a²=b²+c²-2bccosA=28，
∴a=2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于基本知识的考查．