Question

6．设P，Q分别是圆（x+2）²+（y-7）²=1与抛物线y²=x上的点，则P，Q两点的最小距离为（　　）

• A． $\sqrt{73}$
• B． $\sqrt{73}$-1
• C． 3$\sqrt{5}$
• D． 3$\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 设圆心为C，则|PQ|=|CP|-|CQ|=|CP|-1，将|PQ|的最小问题，转化为|CP|的最小问题即可．

解答 解：设圆心为C，则|PQ|=|CP|-|CQ|=|CP|-1，C点坐标（-2，7），
由于P在y²=x上，设P的坐标为（x，y），
∴|CP|=$\sqrt{（x+2）^{2}+（y-7）^{2}}$=$\sqrt{{y}^{4}+5{y}^{2}-14y+53}$
设t=y⁴+5y²-14y+53，则t′=4y³+10y-14=（y-1）（4y²+4y+14）
∴y＞1，t′＞0，y＜1，t′＜0，
∴y=1时，t_min=45，
∴|CP|_min=3$\sqrt{5}$
∵圆半径为1，
∴|PQ|最小值为3$\sqrt{5}$-1．
故选：D．

点评 本题重点考查圆与圆锥曲线的综合，考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，将|PQ|的最小问题，转化为|CP|的最小问题是解题的关键．