Question

15．与x轴切于负半轴，圆心在直线y=3x上，且被直线x-y=0截得的弦长为$2\sqrt{7}$的圆的方程为（x+1）²+（y+3）²=9．

Answer 1

分析 根据题意，设圆心为C（a，b），算出点C到直线x-y=0的距离，根据垂径定理建立方程，由于所求的圆与x轴相切，所以r²=b²，又因为所求圆心在直线3x-y=0上，则3a-b=0，即可得到所求圆的方程．

解答 解：设所求的圆的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
则圆心（a，b）到直线x-y=0的距离为$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$，
所以（$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$）²+7=r²，即2r²=（a-b）²+14-------①
由于所求的圆与x轴相切，所以r²=b^2-----------②
又因为所求圆心在直线3x-y=0上，则3a-b=0---------③
联立①②③，解得a=1，b=3，r²=9或a=-1，b=-3，r²=9．
因为与x轴切于负半轴，
所有所求的圆的方程是（x+1）²+（y+3）²=9．
故答案为：（x+1）²+（y+3）²=9．

点评 本题给出圆满足的条件，求圆的方程．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．