Question

9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且$\frac{cosB}{cosC}$=-$\frac{b}{2a+c}$．
（1）求角B的大小；
（2）若b=$\sqrt{13}$，a+c=4，求△ABC的面积．
（3）若b=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；
（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．
（3）根据余弦定理建立等式，利用基本不等式的性质确定bc的最大值，进而代入三角形面积公式求得面积的最大值．

解答 解：（1）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$得：
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
将上式代入已知$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{b}{2a+c}得\frac{cosB}{cosC}=-\frac{sinB}{2sinA+sinC}$，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴$cosB=-\frac{1}{2}$，
∵B为三角形的内角，∴$B=\frac{2}{3}π$；
（2）将$b=\sqrt{13}，a+c=4，B=\frac{2}{3}π$代入余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：
b²=（a+c）²-2ac-2accosB，即$13=16-2ac（1-\frac{1}{2}）$，
∴ac=3，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{3}{4}\sqrt{3}$．
（3）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac，
又∵b²=a²+c²-ac，
∴3=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，
即ac≤3，
当且仅当a=c时等号成立，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．即△ABC面积的最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．利用正弦定理表示出a，b及c是第一问的突破点．