Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4{x}^{2}+4x，（0≤x＜1）}\\{lo{g}_{2013}x，（x＞1）}\end{array}\right.$，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（2，2014）．

Answer 1

分析 当0≤x＜1时，f（x）=-4（x-$\frac{1}{2}$）²+1，可得f（x）∈[0，1]．当x＞1时，f（x）=log₂₀₁₃x＞0．在同一坐标系内画出函数的图象．利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出

解答 解：当0≤x＜1时，f（x）=-4（x-$\frac{1}{2}$）²+1，可得f（x）∈[0，1]．
当x＞1时，f（x）=log₂₀₁₃x＞0．
在同一坐标系内画出函数的图象：

不妨假设a＜b＜c，
由二次函数的对称性可得a+b=1．
由0＜log₂₀₁₃c＜1，解得1＜c＜2013，
∴2＜a+b+c＜2014．
∴a+b+c的取值范围是（2，2014）．
故答案为：（2，2014）．

点评 本题考查了二次函数的单调性和对数函数的单调性、数形结合的思想方法，属于难题．