Question

已知函数的定义域为,且满足条件:①；②；③当时,.（1）求证:为偶函数；（2）讨论函数的单调性；（3）求不等式的解集.

Answer 1

（1）证明：令x=y=1    有f(1)=f(1)+f(1)    ∴f(1)=0

令x=y=-1   有f(1)=f(-1)+f(-1)     ∴f(-1)=0

令y=-1   有f(-x)=f(x)+f(-1)            ∴f(x)=f(-x)且定义域关于原式对称

∴f(x)是偶函数                                 法二：f(x²)=f(x)+f(x)

                                                                       =f(-x)+f(-x)

                                                                      ∴f(x)=f(-x)

                                                       法三：令y=-1

                                                                f(-x)=f(x)+f(-1)    ①

                                                              x=-x  y=-1　f(x)=f(-x)+f(-1)　②

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①-②

                                                                  ∴f(x)=f(-x)

（2）任取x₁,x₂∈(0,+ ∞)且x₁<x₂,则

（3）

∵f(x)是偶函数

∴f(|x(x-3)|) ≤f(4)

∴解集为[-1，0）∪（0，3）∪（3，4]