Question

二次函数的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得的线段长8．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f （x）的图象恒在一次函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

Answer 1

分析：（1）因为已知二次函数的顶点坐标，故可设二次函数的顶点式f（x）=a（x-1）²+16，且图象在x轴上截得的线段长8，即可得a的值，从而得函数解析式；
（2）先将y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方问题转化为g（x）=x²+m-15＜0在[-1，1]上恒成立问题，从而只需求函数g（x）的最大值即可得m的取值范围．

解答：解：（1）由已知，设f（x）=a（x-1）²+16，函数与x轴的交点为（x₁，0）与（x₂，0）
又由图象在x轴上截得的线段长8，得|x₁-x₂|=|(1+

- 16 a

)-(1-

- 16 a

)|=8，
解得：a=-1
故f（x）=-（x-1）²+16=-x²+2x+15
（2）由已知，即-x²+2x+15＞2x+m，化简得 x²+m-15＜0，
设g（x）=x²+m-15，则只要g（x）_max＜0，x∈[-1，1]即可
∵g（x）=x²+m-15在[-1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数．
∴g（x）_max=g（1）=1+m-15＜0，
∴m＜14．

点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式的方法，二次函数不等式恒成立问题的解法，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解决本题的关键