Question

已知定点A（4，0）到等轴双曲线x²-y²=a²（a＞0）上的点的最近距离为

5

，求此双曲线的方程，并求此双曲线上到点A的距离为

5

的点的坐标．

Answer 1

分析：设点P（x，y）是双曲线x²-y²=a²上任意一点，表示出双曲线上到点A的距离，配方，分类讨论，可求双曲线的方程．

解答：解：设点P（x，y）是双曲线x²-y²=a²上任意一点，
则|AP|²=（x-4）²+y²=（x-4）²+（x²-a²）=2（x-2）²+8-a²
∵|x|≥a，
∴（1）当0＜a≤2时，
在x=2时，|AP

|

2 min

=8-a2=5，
∴a2=3，a=

3

，
此时双曲线方程为x²-y²=3，
双曲线上离A距离为

5

的点为（2，1）或（2，-1）
（2）当a＞2时，在x=a时，|AP

|

2 min

=2(a-2)2+8-a2=5，
∴a=4+

5

．
此时双曲线方程为x2-y2=21+8

5

，
双曲线上离A距离为

5

的点的坐标为(4+

5

，0)．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．