Question

【题目】已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x+2|﹣a）．
（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题设知：|x﹣1|+|x+2|＞7，

令x﹣1=0，x+2=0，解得x=1，x=﹣2，这就是两个分界点．把全体实数分成3个区间．

不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

，或 ，或

解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣4）∪（3，+∞）；

（Ⅱ）不等式f（x）≥3即：|x﹣1|+|x+2|≥a+8，

∵x∈R时，恒有|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，

∵不等式|x﹣1|+|x+2|≥a+8解集是R，∴a+8≤3，

∴a的取值范围是：（﹣∞，﹣5]．

【解析】（1）根据零点分界讨论，脱掉绝对值，解出函数的定义域，（2）不等式f（x）≥3即：|x﹣1|+|x+2|≥a+8，根据绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，解出a的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了函数的定义域及其求法的相关知识点，需要掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零才能正确解答此题．