Question

（2012•卢湾区一模）已知数列{b_n}，若存在正整数T，对一切n∈N^*都有b_n+r=b_n，则称数列{b_n}为周期数列，T是它的一个周期．例如：
数列a，a，a，a，…①可看作周期为1的数列；
数列a，b，a，b，…②可看作周期为2的数列；
数列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期为3的数列…
（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是an =

a   n为正奇数 b    n为正偶数

，试再写出该数列的一个通项公式；
（2）求数列③的前n项和S_n；
（3）在数列③中，若a=2，b=

1

2

，c=-1，且它有一个形如b_n=Asin（ωn+φ）+B的通项公式，其中A、B、ω、φ均为实数，A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，求该数列的一个通项公式b_n．

Answer 1

分析：（1）根据数列a，b，a，b，…可看作周期为2的数列，可写出数列的通项；
（2）数列a，b，c，a，b，c，…可看作周期为3的数列，故可分类得出结论；
（3）由题意，ω＞0，应有

2π

ω

=3，得ω=

2π

3

，于是b_n=Asin（

2π

3

n+φ）+B，把b₁=2，b₂=

1

2

，b₃=-1，代入上式，即可得出结论．

解答：解：（1）∵数列a，b，a，b，…可看作周期为2的数列；
∴a_n=a|sin

nπ

2

|+b|cos

nπ

2

|等．（3分）
（2）数列a，b，c，a，b，c，…可看作周期为3的数列，所以当n=3k+1时，Sn=

n-1

3

(a+b+c)+a；（5分）
当n=3k+2时，Sn=

n-2

3

(a+b+c)+a+b；（7分）
当n=3k+3时，Sn=

n

3

(a+b+c)（k∈N）．（9分）
（3）由题意，ω＞0，应有

2π

ω

=3，得ω=

2π

3

，（10分）
于是b_n=Asin（

2π

3

n+φ）+B，
把b₁=2，b₂=

1

2

，b₃=-1，代入上式得

Asin( 2π 3 +φ)+B=2(1) Asin( 4π 3 +φ)+B= 1 2 (2) Asin(2π+φ)+B=-1(3)

（12分）
由（1）（2）可得Acosφ=

3

2

，再代入（1）的展开式，可得-

A

2

sinφ+B=

5

4

，与（3）联立得B=

1

2

，（13分）
Asinφ=-

3

2

，于是tanφ=-

3

因为|φ|＜

π

2

，所以φ=-

π

3

，（14分）
于是可求得A=

3

．（15分）
故b_n=

3

sin（

2nπ

3

-

π

3

）+

1

2

（16分）

点评：本题考查数列与三角函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，有一定难度．