Question

若数列{a_n}的前n项和S_n=

1

3

a_n+

2

3

，则{a_n}的前5项和S₅=

 

．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知中数列{a_n}的前n项和S_n=

1

3

a_n+

2

3

，可得：S_n-1=

1

3

a_n-1+

2

3

，相减可得数列相邻两项关系，进而根据等比数列的前n项和公式，得到答案．

解答： 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=

1

3

a_n+

2

3

，…①
∴当n≥2时，S_n-1=

1

3

a_n-1+

2

3

，…②
①-②得：a_n=

1

3

a_n+

1

3

a_n-1，
即

an

an-1

=

1

2

，
又由n=1时，S₁=a₁=

1

3

a₁+

2

3

，得：a₁=1，
故数列{a_n}是以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
∴S₅=

1-( 1 2 )5

1- 1 2

=

31

16

，
故答案为：

31

16

点评：此题考查数列的递推公式，注意S_n-S_n-1=a_n，这一点很重要，也是高考的热点问题．