Question

已知椭圆的离心率.

   （Ⅰ）若椭圆准线间的距离为，求椭圆方程；

   （Ⅱ）直线过点C(交椭圆于A、B两点，且满足：，试求面积的最大值.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵椭圆的方程为(a>b>0)

由e=,及a²=b²+c²,得a²=3b²

又由准线间的距离为，得2

∴a²=3,b²=1         ∴椭圆方程为.

   （Ⅱ）由e=,及a²=b²+c²,得a²=3b², 可设椭圆的方程为

设A(x₁,y₁) , B(x₂,y₂)  由题知直线的斜率存在，则设的方程为y=k(x+1),

由

    得：(3k²+1)x²+6k²x+3k²-3b²=0

且Δ=12(3b²-1)k²+12b²

∵直线交椭圆于两点，且  ∴点C在椭圆内部，∴a>1

∴3b²>1    ∴Δ>0

∴x₁+x₂= 

∵  ∴(x₁+1,y₁)=3(-1-x₂,-y₂)   ∴x₁=-4-3x₂

∴x₂+1=   ∴|x₁-x₂|=

又O到直线的距离为d=

∴

∴当且仅当3|k|=,即时，取最大值.