Question

已知椭圆Ω的离心率为

1

2

，它的一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合．
（1）求椭圆Ω的方程；
（2）若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上过点（x₀，y₀）的切线方程为

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．
①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C；
②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|，若存在，求出A的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程，抛物线y²=-4x的焦点是（-1，0），从而得到c=1，再由离心率，能求出椭圆Ω的方程．
（2）①设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（4，t），则可得切线方程，由此推导出直线AB的方程是x+

t

3

y=1，从而可得结论；
②将直线AB的方程x+

t

3

y=1与椭圆方程联立，求出|AC|，|BC|，利用韦达定理，即可得到结论．

解答：（1）解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
抛物线y²=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，
又∵

c

a

=

1

2

，∴a=2，b=

a2-c2

=

3

，
∴所求的椭圆Ω的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①证明：设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（4，t），
则切线方程分别为

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1，
∵两切线均过M，即x1+

t

3

y1=1，x2+

t

3

y2=1，
即点A，B的坐标都适合方程x+

t

3

y=1
而两点之间确定的唯一的一条直线，
∴直线AB的方程是x+

t

3

=1，
对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，
故直线恒过定点C（1，0）．
②将直线AB的方程x+

t

3

y=1与椭圆方程联立，可得（

t2

3

+4）y²-2ty-9=0
∴y1+y2=

6t

t2+12

，y1y2=

-27

t2+12

不妨设y₁＞0，y₂＜0，则|AC|=

(x1-1)2+y12

=

t2+9

3

y1
同理|BC|=-

t2+9

3

y2
∴

1

|AC|

+

1

|BC|

=

1

t2+9

•

144t2+9×144

9

=

4

3

即|AC|+|BC|=

4

3

•|AC|•|BC|，
故存在λ=

4

3

，使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．