Question

17．若存在t∈R与正数m，使F（t-m）=F（t+m）成立，则称“函数F（x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，设f（x）=$\frac{{x}^{2}+λ}{x}$（x＞0），若对于任意t∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），总存在正数m，使得“函数f（x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． （0，2]
• B． （1，2]
• C． [1，2]
• D． [1，4]

Answer 1

分析 哟题意可得代入函数式，化简整理，可得λ=t²-m²有解，结合函数f（x）可得λ＞0（否则单调），求得m的范围，即可得到所求范围．

解答 解：若对于任意t∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），
总存在正数m，使得“函数f（x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，
则对于任意t∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），
$\frac{{（t-m）}^{2}+λ}{t-m}$=$\frac{{（t+m）}^{2}+λ}{t+m}$有解，
即$t-m+\frac{λ}{t-m}$=$t+m+\frac{λ}{t+m}$有解，
即1=$\frac{λ}{{t}^{2}-{m}^{2}}$有解，
即λ=t²-m²有解，
∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+λ}{x}$（x＞0）具有对称性，
故λ＞0，即有m＜t，即有0＜m≤$\sqrt{2}$，
由于t∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），故t²-m²∈（0，2]．
故选：A．

点评 本题考查新定义的理解和运用，注意运用对勾函数的性质，以及恒成立思想的运用，不等式的性质，属于中档题．