Question

已知三次函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（1）=0，f′（2）=3，f′（3）=12．
（Ⅰ）求f（x）-f（0）的表达式；
（Ⅱ）若对任意的x∈[-1，4]，都有f（x）＞f'（x）成立，求f（0）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先用待定系数法设出函数f（x）的解析式，然后求导数，将x=1，2，3代入可求出函数f（x）的解析式进而可得答案．
（2）先求函数f（x）的导函数f'（x），然后表示表示出f（x）＞f′（x）的不等关系，表示出f（0），转化为求f（0）＞-x³+6x²-9x+3在[-1，4]的恒成立问题．

解答：解：（Ⅰ）设f（x）=ax³+bx²+cx+d，则f′（x）=3ax²+2bx+c．
∴

3a+2b+c=0 12a+4b+c=3 27a+6b+c=12

即

a=1 b=-3 c=3

．
∴f（x）-f（0）=x³-3x²+3x．
（Ⅱ）f′（x）=3x²-6x+3，∵对任意的x∈[-1，4]，f（x）＞f′（x）成立
∴f（x）-f′（x）=x³-6x²+9x+f（0）-3＞0．
∴f（0）＞-x³+6x²-9x+3
设F（x）=-x³+6x²-9x+3，则F′（x）=-3x²+12x-9．
令F′（x）=0得x=1或x=3，∴x=1和x=3是函数的极值点．
又F（-1）＞F（3），F（-1＞F（1），F（-1）＞F（4）
∴F（x）在[-1，4]上的最大值为F（-1）=19．f（0）的取值范围是（19，+∞）．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数解析式的方法和利用导数求函数在闭区间上的最值的问题，属中档题．