Question

已知等比数列{a_n}中，a₂=

1

4

，a₅=

1

32

（1）试求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b_n=

n

an

（n∈N^*），试求{B_n}的前n项和公式T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知结合等比数列的通项公式求得首项和公比，然后代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把（1）中求得的通项公式代入b_n=

n

an

，然后由错位相减法求求{b_n}的前n项和公式T_n．

解答： 解：（1）在等比数列{a_n}中，由a₂=

1

4

，a₅=

1

32

，得
q3=

a5

a2

=

1 32

1 4

=

1

8

，
∴q=

1

2

，则a1=

a2

q

=

1

2

．
∴a_n=

1

2

•（

1

2

）^n-1=（

1

2

）ⁿ，（n∈N^*）；
（2）∵b_n=

n

an

=n•2ⁿ，（n∈N^*），
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ   ③，
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹ ②，
①-②得：-T_n=2+2²+2³+…-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹，
整理得：T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹，n∈N^*．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．