Question

7．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-4x，x＜\frac{1}{2}\\{log_{\frac{1}{2}}}（2x+1），x≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$
（1）求$f（\frac{3}{2}），f（{f（\frac{1}{2}）}）$的值；
（2）求不等式f（x）＞-3的解集．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的解析式，分别计算f（$\frac{3}{2}$）以及f（f（$\frac{1}{2}$））的值即可；
（2）分别解出关于x＜$\frac{1}{2}$和x≥$\frac{1}{2}$时的不等式的解集取并集即可．

解答 解：（1）f（$\frac{3}{2}$）=${log}_{\frac{1}{2}}$（2×$\frac{3}{2}$+1）=${log}_{\frac{1}{2}}$4=$\frac{{log}_{2}4}{{log}_{2}\frac{1}{2}}$=-2，
f（$\frac{1}{2}$）=${log}_{\frac{1}{2}}$（2×$\frac{1}{2}$+1）=${log}_{\frac{1}{2}}$2=-1，
故f（f（$\frac{1}{2}$））=f（-1）=（-1）²-4×（-1）=5；
（2）x＜$\frac{1}{2}$时，x²-4x＞-3，解得：x＜1，或x＞3（舍），
故x＜$\frac{1}{2}$成立，
x≥$\frac{1}{2}$时，${log}_{\frac{1}{2}}$（2x+1）＞-3，
故2x+1＜8，解得：x＜$\frac{7}{2}$，
综上，不等式的解集是：$\left\{{x\left|{x＜\frac{7}{2}}\right.}\right\}$．

点评 本题考查了函数求值问题，考查解不等式问题，是一道基础题．