Question

11．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆上，过F（1，0）点的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l斜率为1，求线段MN的长；
（3）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y₀），求y₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）直线l的方程为：y=x-1，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，可求线段MN的长；
（2）分类讨论，设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x=0，得y₀，利用基本不等式，即可求y的取值范围．

解答 解：（1）由椭圆右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，因此$a=2，c=1，b=\sqrt{3}$，即可求椭圆M的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）由题意，直线l的方程为：y=x-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得得7x²-8x-8=0，x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
所以|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{24}{7}$．
（3）设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中点M（x'，y'），
把y=k（x-1）代入椭圆方程，得到方程（4k²+3）x²-8k²x-8=0，
则${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，{x_1}{x_2}=\frac{-8}{{4{k^2}+3}}$，$x'=\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，y'=k（x'-1）=\frac{{-3{k^{\;}}}}{{4{k^2}+3}}$，
所以MN的中垂线的方程为$y-y'=-\frac{1}{k}（x-x'）$，令x=0，得${y_0}=\frac{1}{k}x'+y'=\frac{k}{{4{k^2}+3}}=\frac{1}{{4k+\frac{3}{k}}}$，
当k＞0时，$4k+\frac{3}{k}≥4\sqrt{3}$，则${y_0}∈（0，\frac{{\sqrt{3}}}{12}]$；当k＜0时，$4k+\frac{3}{k}≤-4\sqrt{3}$，则${y_0}∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{12}，0）$，当k=0时，显然y₀=0
综上，y₀的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$]．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键，属于压轴题．