Question

3．已知数列{a_n}满足a_n+1=a_n-2a_n+1a_n，a_n≠0且a₁=1
（1）求证：数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是等差数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足a_n+1=a_n-2a_n+1a_n，a_n≠0，变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，又a₁=1，即可证明．
（2）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）证明：数列{a_n}满足a_n+1=a_n-2a_n+1a_n，a_n≠0，变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，又a₁=1，
∴数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是等差数列，首项为1，公差为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，解得a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（2）解：b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项的和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了“裂项求和方法”、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．