Question

6．对于R上可导的任意函数f（x），若a＞b＞1，且有（x-1）f′（x）≥0，则必有（　　）

• A． f（a）+f（b）＜2 f（1）
• B． f（a）+f（b）≤2 f（1）
• C． f（a）+f（b）≥2 f（1）
• D． f（a）+f（b）＞2 f（1）

Answer 1

分析 函数f（x）满足（x-1）f′（x）＞0，对x与1的大小关系分类讨论即可得出函数f（x）的单调性．

解答 解：∵函数f（x）满足（x-1）f′（x）＞0，
∴x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，
若a＞b＞1，
则f（a）≥f（1），f（b）≥f（1），
故f（a）+f（b）≥2f（1），
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．