Question

已知下列两个命题：p：?x∈[0，+∞），不等式ax≥

x

-1恒成立；q：1是关于x的不等式（x-a）（x-a-1）≤0的一个解．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：两个命题中有且只有一个是真命题，则需要对p、q的谁真谁假分情况讨论．对于命题p可以利用分参思想转化为恒成立问题．对于命题q知道该表达式的一个解，直接代入就可求出q．

解答：解：命题p：当x=0时，有0≥-1，显然成立．即a∈R．
当x＞0时，有a≥

x -1

x

= 

1

x

-

1

x

恒成立．
令f（x）=

1

x

-

1

x

，则f（x）=-（

1

x

-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，即f（x）_max=

1

4

∴命题 p：当x=0时，a∈R；   当x＞0时，a≥

1

4

．
命题q：∵1是关于x的不等式（x-a）（x-a-1）≤0的一个解，
∴-a（1-a）≤0
∴a（a-1）≤0，解得：0≤a≤1
即，命题q：0≤a≤1
∵两个命题中有且只有一个是真命题，
综上所述，当p真q假时，实数a的取值范围为a＞1
当p假q真时，实数a的取值范围[0，

1

4

）

点评：命题p∧q和pVq真假的判定依据：
命题p、q中只要有一个是假命题，那么p∧q就是假命题；
命题p、q中只要有一个是真命题，那么pVq就是真命题．