Question

若不等式对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．

Answer 1

解法一：显然k＞0．（+）²≤k²（2x+y）?（2k²-1）x-2+（k²-1）y≥0对于x，y＞0恒成立．两边同除以y得（2k²-1）-2+（k²-1）≥0
令t=＞0，则得f（t）=（2k²-1）t²-2t+（k²-1）≥0对一切t＞0恒成立．
当2k²-1≤0时，不等式不能恒成立，故2k²-1＞0．
此时当t=时，f（t）取得最小值-+k²-1==．
当2k²-1＞0且2k²-3≥0，即k≥时，不等式恒成立，且当x=4y＞0时等号成立．
∴k∈[，+∞）．
解法二：显然k＞0，故k²≥=，令t=＞0，，则k²≥=（1+）．2t²+1
令u=4t+1＞1，则t=，=只要求s（u）=的最大值．
s（u）=≤=2，于是（1+）≤（1+2）=．
∴k²≥，即k≥时，不等式恒成立（当x=4y＞0时等号成立）．
又：令s（t）=，则s′（t）==，t＞0时有驻点t=．且在0＜t＜时，s′（t）＞0，在t＞时，s′（t）＜0，即s（t）在t=时取得最大值2，此时有k²≥（1+s（））=．
解法三：由Cauchy不等式，（+）²≤（+1）（2x+y）．
即（+）≤对一切正实数x，y成立．
当k＜时，取x=，y=1，有+=，而k=k＜×=．即不等式不能恒成立．
而当k≥时，由于对一切正实数x，y，都有+≤≤k，故不等式恒成立．
∴k∈[，+∞）．
分析：解法一：将原式两边平方，并移向得出（2k²-1）x-2+（k²-1）y≥0对于x，y＞0恒成立．两边同除以y得（2k²-1）-2+（k²-1）≥0，令t=＞0，构造得出f（t）=（2k²-1）t²-2t+（k²-1）≥0对一切t＞0恒成立．利用二次函数的性质求解．
解法二：先将k分离，再平方得出k²≥=，令t=＞0，，则k²≥=（1+）．只需求出的最大值即可，可以利用基本不等式或导数法求出．
解法三：由Cauchy不等式，（+）²≤（+1）（2x+y）．即（+）≤对一切正实数x，y成立．分k＜，k≥两种情况讨论．
点评：本题是一道函数恒成立问题，本别采用了构造转化为含参数函数最值问题；分离参数后，利用基本不等式或导数法求分式函数最值问题．这两种思路和方法是常用的．另外本题还可以利用Cauchy不等式求解．