Question

如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA，OB，OC两条垂直，且长度为2．E，F分别是AB，AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA，OB，OC或其延长线分别相交于A₁，B₁，C₁，已知
（Ⅰ）证明：B₁C₁⊥平面OAH；
（Ⅱ）求三棱锥O-A₁B₁C₁体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，
又∵EF?平面OBC，BC?平面0BC，∴EF∥平面0BC，…（2分）
又∵EF?面A₁B₁C₁，面A₁B₁C₁∩面OBC=B₁C_l，
∴EF∥B₁C₁…（4分）
又∵H是EF的中点，AH⊥EF，∴AH⊥B₁C₁．…（5分）
∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，∴OA⊥平面OBC，
∵B₁C_l?平面OBC，∴OA⊥B₁C₁，
又∵OA∩AH=A，OA、AH?平面OAH
∴B₁C₁⊥平面OAH．…（8分）
（Ⅱ）过点E作EM⊥OB₁于M，则
∵△AOB中，OA⊥OB，EM⊥OB
∴EM∥OA，且M是OB的中点．
可得EM=OM=1．设OB₁=x，则MB₁=x-1，
由，得．
解得x=3．即OB₁=OC₁=3．…（11分）
从而三棱锥O-A₁B₁C₁体积为
．…（14分）
分析：（Ⅰ）根据三角形的中位线定理，得EF∥BC，从而EF∥平面0BC，结合线面平行性质定理，得EF∥B₁C₁．△A₁B₁C₁中，证出AH⊥B₁C₁，结合OA⊥B₁C₁，可证出B₁C₁⊥平面OAH；
（II）过点E作EM⊥OB₁于M，在△AOB中，可得EM∥OA且M是OB的中点．利用平行线分线段成比例，得，解出OB₁=OC₁=3，最后用三棱锥体积公式并结合等体积转换，可算出三棱锥O-A₁B₁C₁体积．
点评：本题在特殊三棱锥中，证明线面垂直并求锥体体积，着重考查了空间垂直位置关系的证明和体积计算等知识，属于中档题．