Question

已知a=2

∫

π 0

(cos(x+

π

6

))dx，则二项式(x2+

a

x

)5的展开式中x的系数为（　　）

A．10

B．-10

C．80

D．-80

Answer 1

分析：利用定积分的意义可求得a，再利用二项展开式的通项公式即可求得二项式(x2+

a

x

)5的展开式中x的系数．

解答：解：∵a=2

∫

π 0

（cos（x+

π

6

））dx=2sin（x+

π

6

）

|

π 0

=2（-

1

2

-

1

2

）=-2，
∴(x2+

a

x

)5=(x2+

-2

x

)5，
设其二项展开式的通项公式T_r+1=（-2）^r•

C

r 5

•（x²）^5-r•x^-r=（-2）^r•

C

r 5

•x^10-3r，
令10-3r=1得：r=3．
∴T_r+1=（-2）³×

C

3 5

x=-8×10x=-80x，
∴二项式(x2+

-2

x

)5的展开式中x的系数为-80．
故选D．

点评：本题考查微积分基本定理与二项展开式的通项公式，求得a的值是关键，考查分析与运算的能力，属于中档题．