Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

an-1

1+2an-1

（n＞1），记b_n=

1

an

．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得b_n=

1

an

=

2an-1+1

an-1

=2+

1

an-1

，由此能证明数列{b_n}为首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）得b_n=

1

an

=1+（n-1）×2=2n-1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

an-1

1+2an-1

（n＞1），
∴b_n=

1

an

=

2an-1+1

an-1

=2+

1

an-1

，
∴

1

an

-

1

an-1

=2，
又

1

a1

=1，
∴数列{b_n}为首项为1，公差为2的等差数列．
（2）解：由（1）得b_n=

1

an

=1+（n-1）×2=2n-1，
∴an=

1

2n-1

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．