Question

2．已知a＞0且a≠1，则使关于x的方程log_a（x-2ak）=log_a（x²-a²）有解的k的取值范围是（　　）

• A． 0＜k＜$\frac{1}{2}$或k$＜-\frac{1}{2}$
• B． 0＜k＜1或k＜-1
• C． 0＜k＜2或k＜-2
• D． 0＜k＜1或k＜-2

Answer 1

分析 a＞0且a≠1，使关于x的方程log_a（x-2ak）=log_a（x²-a²）有解，可得x-2ak=x²-a²＞0．由x²-x+2ak-a²=0有实数根，则△≥0，化为k≤$\frac{1}{8}$$（\frac{1}{a}+4a）$，利用基本不等式的性质可得k≤$\frac{1}{2}$．分类讨论$\left\{\begin{array}{l}{0≤k≤\frac{1}{2}}\\{x＞2ak}\\{x＞a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{x＞2ak}\\{x＜-a}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：∵a＞0且a≠1，使关于x的方程log_a（x-2ak）=log_a（x²-a²）有解，
∴x-2ak=x²-a²＞0，（*）
由x²-x+2ak-a²=0有实数根，
则△=1-4（2ak-a²）≥0，化为k≤$\frac{1}{8}$$（\frac{1}{a}+4a）$，∵a＞0，a≠1，∴$\frac{1}{a}+4a$≥2$\sqrt{\frac{1}{a}•4a}$=4，当且仅当a=$\frac{1}{2}$时取等号，∴k≤$\frac{1}{2}$．
$\left\{\begin{array}{l}{0≤k≤\frac{1}{2}}\\{x＞2ak}\\{x＞a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{x＞2ak}\\{x＜-a}\end{array}\right.$，
解得$0＜k＜\frac{1}{2}$或$k＜-\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了对数函数的单调性、一元二次的实数根与判别式的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．