Question

已知向量，在函数的图象上，对称中心到对称轴的最小距离为，且当时f（x）的最小值为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若对任意x₁，x₂∈[0，]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）化简函数的解析式，根据它的周期等于，求出ω的值，再根据当时f（x）的最小值为，求出t的值，即可得到f（x）的解析式．
（2）令，解出x的范围，即可得到单调递增区间．
（3）当时，求得f（x）的最大值为 ，最小值为，可得|f（x₁）-f（x₂）|的最大值为3，由此得到实数m的取值范围．
解答：解：（1）∵，
∴ 
===，
由题意可得，∴ω=1． 
∵，∴．
 又f（x）的最小值为=×（）++t，
∴，
故 ．
（2）令，可得，
∴，
即单调递增区间为：．
（3）当时，f（x）的最大值为  ×（）++=，最小值为，
∴|f（x₁）-f（x₂）|的最大值为=3．
∵对任意x₁，x₂∈[0，]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，
∴m＞3，即实数m的取值范围为（3，+∞）．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的定义，正弦函数的定义域和值域、周期性及单调性的应用，属于中档题．