Question

已知椭圆的两个焦点，，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于两点，如果的周长等于8。
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标及定值;若不存在，说明理由。

Answer 1

（1) ；（2）   定值

试题分析：（I）由题意知c=，4a=8，∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为。
（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）
由消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则由韦达定理得x₁+x₂=，x₁x₂=
则=(m-x₁，-y₁)，=(m-x₂，-y₂)
∴·=(m-x₁)(m-x₂)+y₁y₂=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
==
要使上式为定值须=4，解得m=，∴为定值
当直线l的斜率不存在时P(1，)，Q(1，-)由E(，0)可得
=(，-)，
=(，)∴=
综上所述当时，为定值。
点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）推理直线斜率的两种情况，易于出现遗漏现象。