Question

矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点M （2，0），AB边所在直线的方程为：x-3y-6=0．若点N（1，-5）在直线AD上．
（1）求点A的坐标及矩形ABCD外接圆的方程；
（2）过直线x-y+4=0上一点P作（1）中所求圆的切线，设切点为E、F，求四边形PEMF面积的最小值，并求此时

PE

•

PF

的值．

Answer 1

分析：（1）用点斜式求出直线AD方程，把它与AB边所在直线的方程联立方程组求出点A的坐标．再由圆心即点M （2，0），半径等于AM=R=2

2

，求出矩形ABCD外接圆的方程．
（2）由切线性质可得四边形PEMF面积S=PE•R=R

PM2-R2

，根据PM的最小值即为圆心M到直线直线x-y+4=0的距离d，由此求得四边形PEMF面积S的最小值．
设∠MPE=∠MPF=α，则sinα=

R

|PM|

=

2

3

，由

PE

•

PF

=

PE

2cos2α=

PE

2（1-2sin²α），运算求得结果．

解答：解：（1）∵AB⊥AD，AB边所在直线的斜率为

1

3

，∴直线AD斜率为-3．
故 直线AD方程为 y+5=-3（x-1），即 3x+y+2=0．
由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

 解得

x=0 y=-2

，∴点A的坐标为（0，-2）．
由题意可得，矩形ABCD外接圆的圆心即点M （2，0），半径等于AM=R=2

2

，
故矩形ABCD外接圆的方程为 （x-2）²+y²=8．
（2）由圆的切线性质可得四边形PEMF面积S=PE•R=R

PM2-R2

=2

2

•

PM2-8

．
由于PM的最小值即为圆心M到直线直线x-y+4=0的距离d=

|2-0+4|

2

=3

2

，
故四边形PEMF面积S的最小值为 2

2

•

10

=4

5

．
此时，|

PE

|= |

PF

|=

10

，设∠MPE=∠MPF=α，则sinα=

R

|PM|

=

2

3

，
∴

PE

•

PF

=

PE

2cos2α=

PE

2（1-2sin²α）=10（1-2×

4

9

）=

10

9

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求圆的标准方程的方法，圆的切线性质，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．