Question

如图所示，矩形ABCD的对角线交于点G，AD⊥平面ABE，AE=2

3

，EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求三棱锥C-BGF的体积．

Answer 1

分析：（1）根据AD⊥平面ABE，AD∥BC可得BC⊥平面ABE，根据线面垂直的性质可知AE⊥BC，根据BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，而BC∩BF=B，满足线面垂直的判定定理，从而证得结论；
（2）根据AE⊥BE，AE⊥BF，BE∩BF=B，满足线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE，而AE∥FG则FG⊥平面BCF，从而FG为三棱锥G-BCF的高，然后求出三角形BCF的面积，根据三棱锥的体积公式解之即可．

解答：证明：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，
又∵AE?平面ABE
∴AE⊥BC（2分）
又∵BF⊥平面ACE，而AE?面ACE，则AE⊥BF，
∵BC∩BF=B，BC，BF?平面BCE
∴AE⊥平面BCE（5分）
解：（2）∵AE∥平面BFD，
∴AE∥FG，
又∵AE⊥BE，AE⊥BF，BE∩BF=B
∴AE⊥平面BCE，即FG⊥平面BCF
则FG为三棱锥G-BCF的高，
∵G是AC的中点，F是CE的中点
∴FG=

1

2

AE=

3

∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥CE
在直角三角形BCE中，BF=

1

2

CE=CF=

2

∴S_△BCF=

1

2

2

×

2

=1
三棱锥C-BGF的体积V=

1

3

S_△BCF•FG=

3

3

---------（12分）

点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及棱锥的体积的转化，难度中档．