Question

如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=

π

2

，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．
（1）求证：AD∥平面PCE；
（2）求二面角A-CE-P的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设BD∩CE=Q，连接PQ．利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）由题意CA，CB，CD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的平面角的大小．

解答：（1）证明：设BD∩CE=Q，连接PQ．
在△ABD中，BQ=QD，BP=PA，∴AD∥PQ．
又∵PQ?平面PCE，AD?平面PCE，
∴AD∥平面PCE；
（2）解：由题意CA，CB，CD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（1，0，0），E(0，2

2

，2)，P(

1

2

，

2

，0)．
∴

CA

=(1，0，0)，

CE

=(0，2

2

，2)，

CP

=(

1

2

，

2

，0)．
设平面CAE的法向量为

n

=（x，y，z）．
则

n • CA =x=0 n • CE =2 2 y+2z=0

，令z=

2

，则y=-1，x=0．∴

n

=(0，-1，

2

)．
设平面PCE的法向量为

m

，同理由

m • CE =0 m • CP =0

，解得

m

=(-4，

2

，-2)．
又cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

-3 2

22 • 3

=-

33

11

．由图可知：二面角A-CE-P的平面角是锐角，
∴其余弦值=

33

11

．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理和线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的平面角的大小的方法等是解题的关键．